On 3D Mesh Deformation, FFD to RBF | 模型变形从FFD到RBF

1. 模型变形的方法

在游戏开发中有多种常用技术可以使得一个模型(mesh)变形。比如Blendshape/Morphtarget,可以运行时对顶点插值得到中间状态的模型。比如Linear Blend Skinning,也就是最常见的骨骼蒙皮方法,可以让角色模型变形显示动画。这些技术的目的大多是为了“表现”,将预计算的结果显示出来。而本文涉及的技术,更偏向于“编辑”,也就是预计算的部分。

我们常常会用到“雕刻”的功能,比如在ZBrush中,用笔刷移动模型的局部。不过这种方法相当依赖于用户主观输入,对于程序性的输入支持并不好。而本文中讲到的技术,更加数学严谨。对程序化的建模非常友好。

本文涉及的算法基本都来自于Polygon Mesh Processing一书9.5,9.6节。读者如果想扩展阅读,直接去看这本书就好了。这本书可以说是几何处理的圣经了,作者都是该领域顶级学者。虽然是十年前出版的,但内容一点都不过时。

2. 算法回顾-Lattice FFD到Cage FFD

Lattice FFD[Sederberg and Parry 86] 是最经典也是应用最广泛的FFD了,3dsmax和maya都内置了这个功能。它的数学表述为

其中,

是其中一个晶格的控制点。而Ni是一个B样条线的基函数。上面式子中的u,v,w是某个模型顶点在控制晶格中的局部坐标,即原论文中的s,t,u

控制点的局部stu坐标系 [Sederberg and Parry 86]

最终效果为

变形效果 [Sederberg and Parry 86]

其数学表达在原始论文中为,即把上面 B样条线的基函数 的 Ni给展开了

直观的可以这样理解:每一个模型顶点都可以通过控制点位置的加权得出。每个控制点对每个顶点的权重,取决于顶点在控制点坐标系下的坐标,在经典FFD中是一个B样条基函数的权重。

因为权重只取决于初始几何位置,可以预先计算,因此变形时计算很快。

经典FFD的问题是控制点是晶格的,对于造型比较复杂,在包围盒中有很多多余空间的模型,会造成很多控制点的浪费。因此有人提出了Cage-Based FFD

其表述与经典FFD基本一致。权重仍然只与位置相关。只不过,这里控制点的权重不是用B样条基函数计算的,而被称为广义重心坐标(generalized barycentric coordinates).

不过其坐标的计算相当复杂,这里不再赘述了

FFD存在的一个问题是如果给定某点位移作为限制条件,其结果会有缺陷。我们假定有N个控制点,M个约束坐标点。这M个点的位移大小我们给出了限定,但我们不知道控制点如何位移才能得到这M个点

这相当于解一个线性方程

注意Ni权重是确定的,di是M个点的位移是我们限定的,如果想要求每个控制点的位移,由于m和n不一定相等。如果m太多,那么解无法满足只能成为最小二乘解。如果n太多那么它倾向于最小化控制点位移,而不是使得目标模型平滑。

如果我们回忆一下Linear Blend Skinning即骨骼蒙皮的做法,其变形原理也是对控制点(如果认为骨骼是控制点)的加权移动。区别在于骨骼蒙皮的权重是稀疏的,一般只有4-8个权重不为0。而且骨骼蒙皮的权重是可以自由定义的,即用户可以刷权重,而不是被数学公式定义的。

3. RBF变形

RBF全称为Radial Basis Function,直译为:距离基方程,直观理解,就是权重跟控制点的距离相关。同样在机器学习中有所引申,以至于搜索RBF可能结果都是神经网络。大概与RBF可以作为kernel计算与特征点的距离有关吧。

当然在模型变形的范畴里,权重不仅是与距离有关,权重还是解出来的。

RBF的表述为下式

注意其中phi是基函数,他可以有很多种形式,但不变的是它与控制点到变形点的距离相关。在这个式子中,它相当于一个几何的权重值。

需要注意的是alpha这个值,它不是一个预计算的常量。它是一个需要被求解的向量。最后一项P是一个多项式补偿量。

它有两个边界条件:

第一个,对控制点用RBF变形的结果,与 控制点 移动距离相等。

第二个,对原点变形还是原点

以上两个条件可以写成矩阵,我们求解它就行了。

其中,Mc,c是控制点相互的基函数

alpha是待求的向量权重,beta是待求的多项式系数,Rc是控制点的坐标,dc是控制点的位移。

需要注意的是,每次控制点变形,都要求解一遍系数的。因此RBF计算速度会相对较慢。但它的好处是

  1. 控制点可以是随意形状
  2. 变形位置与控制点很接近,因为控制点变形满足边界条件

作为对比,可以看3dsmax中的FFD,一是只有lattice和圆柱两种,而是被变形的点甚至不跟着控制点走相比之下maya的FFD(Lattice)更好一些。

3dsmax中的FFD

4.Houdini中的实现

当然是有开源实现的,比如PyGeM。不过原理也不复杂,笔者重新实现了一边代码。

需要解一个线性方程,可以用numpy.linalg来做,这里写了一个python节点,其实也只需要一个python节点

其代码为:

5. 应用

第一个例子对一个怪兽头部做了变形由于控制点可以程序化控制,这里对控制点做了一个噪波,变形出了很多种

节点:

第二个例子中,由于控制点可以是任何形状,甚至任何blendshape都可以因此可以对不同体型的衣服做变形

节点也很简单

最后,RBF的HDA资源可以从 https://github.com/maajor/m-hda-collections/tree/master/RBF 获取

参考资料

PyGeM, Python utilities for geometrical morphing

Sederberg T W , Parry S R . Free-form deformation of solid geometric models[J]. ACM SIGGRAPH Computer Graphics, 1986, 20.

Ju T , Schaefer S , Warren J . Mean value coordinates for closed triangular meshes[J]. ACM Transactions on Graphics, 2005, 24(3):561.

Boer A D, Schoot M S V D, Bijl H. Mesh deformation based on radial basis function interpolation[J]. Computers & Structures, 2007, 85(11):784-795.

Bogdan Cosmin Mocanu. 3D mesh morphing. Economies and finances. Institut Nationaldes Télécommunications,2012.English

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