On 3D Mesh Deformation, FFD to RBF | 模型变形从FFD到RBF

1. 模型变形的方法

在游戏开发中有多种常用技术可以使得一个模型（mesh）变形。比如Blendshape/Morphtarget，可以运行时对顶点插值得到中间状态的模型。比如Linear Blend Skinning，也就是最常见的骨骼蒙皮方法，可以让角色模型变形显示动画。这些技术的目的大多是为了“表现”，将预计算的结果显示出来。而本文涉及的技术，更偏向于“编辑”，也就是预计算的部分。

我们常常会用到“雕刻”的功能，比如在ZBrush中，用笔刷移动模型的局部。不过这种方法相当依赖于用户主观输入，对于程序性的输入支持并不好。而本文中讲到的技术，更加数学严谨。对程序化的建模非常友好。

本文涉及的算法基本都来自于Polygon Mesh Processing一书9.5，9.6节。读者如果想扩展阅读，直接去看这本书就好了。这本书可以说是几何处理的圣经了，作者都是该领域顶级学者。虽然是十年前出版的，但内容一点都不过时。

2. 算法回顾-Lattice FFD到Cage FFD

Lattice FFD[Sederberg and Parry 86] 是最经典也是应用最广泛的FFD了，3dsmax和maya都内置了这个功能。它的数学表述为

其中，

是其中一个晶格的控制点。而Ni是一个B样条线的基函数。上面式子中的u,v,w是某个模型顶点在控制晶格中的局部坐标，即原论文中的s,t,u

最终效果为

其数学表达在原始论文中为，即把上面 B样条线的基函数的 Ni给展开了

直观的可以这样理解：每一个模型顶点都可以通过控制点位置的加权得出。每个控制点对每个顶点的权重，取决于顶点在控制点坐标系下的坐标，在经典FFD中是一个B样条基函数的权重。

因为权重只取决于初始几何位置，可以预先计算，因此变形时计算很快。

经典FFD的问题是控制点是晶格的，对于造型比较复杂，在包围盒中有很多多余空间的模型，会造成很多控制点的浪费。因此有人提出了Cage-Based FFD

其表述与经典FFD基本一致。权重仍然只与位置相关。只不过，这里控制点的权重不是用B样条基函数计算的，而被称为广义重心坐标(generalized barycentric coordinates).

不过其坐标的计算相当复杂，这里不再赘述了

FFD存在的一个问题是如果给定某点位移作为限制条件，其结果会有缺陷。我们假定有N个控制点，M个约束坐标点。这M个点的位移大小我们给出了限定，但我们不知道控制点如何位移才能得到这M个点

这相当于解一个线性方程

注意Ni权重是确定的，di是M个点的位移是我们限定的，如果想要求每个控制点的位移，由于m和n不一定相等。如果m太多，那么解无法满足只能成为最小二乘解。如果n太多那么它倾向于最小化控制点位移，而不是使得目标模型平滑。

如果我们回忆一下Linear Blend Skinning即骨骼蒙皮的做法，其变形原理也是对控制点（如果认为骨骼是控制点）的加权移动。区别在于骨骼蒙皮的权重是稀疏的，一般只有4-8个权重不为0。而且骨骼蒙皮的权重是可以自由定义的，即用户可以刷权重，而不是被数学公式定义的。

3. RBF变形

RBF全称为Radial Basis Function，直译为：距离基方程，直观理解，就是权重跟控制点的距离相关。同样在机器学习中有所引申，以至于搜索RBF可能结果都是神经网络。大概与RBF可以作为kernel计算与特征点的距离有关吧。

当然在模型变形的范畴里，权重不仅是与距离有关，权重还是解出来的。

RBF的表述为下式

注意其中phi是基函数，他可以有很多种形式，但不变的是它与控制点到变形点的距离相关。在这个式子中，它相当于一个几何的权重值。

需要注意的是alpha这个值，它不是一个预计算的常量。它是一个需要被求解的向量。最后一项P是一个多项式补偿量。

它有两个边界条件：

第一个，对控制点用RBF变形的结果，与控制点移动距离相等。

第二个，对原点变形还是原点

以上两个条件可以写成矩阵，我们求解它就行了。

其中，Mc,c是控制点相互的基函数

alpha是待求的向量权重，beta是待求的多项式系数，Rc是控制点的坐标，dc是控制点的位移。

需要注意的是，每次控制点变形，都要求解一遍系数的。因此RBF计算速度会相对较慢。但它的好处是

控制点可以是随意形状
变形位置与控制点很接近，因为控制点变形满足边界条件

作为对比，可以看3dsmax中的FFD，一是只有lattice和圆柱两种，而是被变形的点甚至不跟着控制点走相比之下maya的FFD(Lattice)更好一些。

4.Houdini中的实现

当然是有开源实现的，比如PyGeM。不过原理也不复杂，笔者重新实现了一边代码。

需要解一个线性方程，可以用numpy.linalg来做，这里写了一个python节点，其实也只需要一个python节点

其代码为：

node = hou.pwd()
geo = node.geometry()
import numpy as np

# input N*3 float for N pts, M*3 float for M pts
# output N*M*3 float for cross-ref distance    
def cdist(x,y):
    npts1 = x.shape[0]
    npts2 = y.shape[0]
    expander_src = np.ones(shape = (1,npts2,3))
    expander_dst = np.ones(shape = (npts1,1,3))
    src = np.expand_dims(x,1)
    dst = np.expand_dims(y,0)
    diff = -src*expander_src+  dst*expander_dst
    return np.sqrt(np.sum(diff * diff, axis=2))

def rbf(dist, r):
    h = dist/r
    d = np.clip(1-h,0,1)
    return d*d


#reshape inputs
ctrl_source = node.inputGeometry(1)
ctrl_target = node.inputGeometry(2)
npts = len(ctrl_source.points())
assert(len(ctrl_source.points()) == len(ctrl_target.points()))
ctrl_source_pts = np.array(ctrl_source.pointFloatAttribValues("P")).reshape(npts,3)
ctrl_target_pts = np.array(ctrl_target.pointFloatAttribValues("P")).reshape(npts,3)

#placeholder
MR = np.zeros([npts+4, npts+4])
D = np.zeros([npts+4, 3])

dist = cdist(ctrl_source_pts,ctrl_source_pts)
R_c = np.insert(ctrl_source_pts,0,1,axis=1)

#right term
MR[:npts, :npts] = rbf(dist, 1)
MR[:npts, npts:] = R_c
MR[npts:, :npts] = R_c.T

#left term
D[:npts,:] = -ctrl_source_pts + ctrl_target_pts

#solved weights, concatenation of alpha and beta
x = np.linalg.solve(MR,D)

#reshape inputs
deform_mesh = node.inputGeometry(0)
deform_npts = len(deform_mesh.points())
deform_pts = np.array(deform_mesh.pointFloatAttribValues("P")).reshape(deform_npts,3)

dist = cdist(deform_pts,ctrl_source_pts)

#rbf weights
M = np.zeros([deform_npts,npts+4])
M[:,:npts] = rbf(dist, 1)
M[:,npts:] = np.insert(deform_pts,0,1,axis=1)

deform_pts +=  np.matmul(M,x)

geo.setPointFloatAttribValues("P", deform_pts.reshape(3*deform_npts));

node = hou.pwd()

geo = node.geometry()

import numpy as np

# input N*3 float for N pts, M*3 float for M pts

# output N*M*3 float for cross-ref distance

def cdist(x,y):

npts1 = x.shape[0]

npts2 = y.shape[0]

expander_src = np.ones(shape = (1,npts2,3))

expander_dst = np.ones(shape = (npts1,1,3))

src = np.expand_dims(x,1)

dst = np.expand_dims(y,0)

diff = -src*expander_src+ dst*expander_dst

return np.sqrt(np.sum(diff * diff, axis=2))

def rbf(dist, r):

h = dist/r

d = np.clip(1-h,0,1)

return d*d

#reshape inputs

ctrl_source = node.inputGeometry(1)

ctrl_target = node.inputGeometry(2)

npts = len(ctrl_source.points())

assert(len(ctrl_source.points()) == len(ctrl_target.points()))

ctrl_source_pts = np.array(ctrl_source.pointFloatAttribValues("P")).reshape(npts,3)

ctrl_target_pts = np.array(ctrl_target.pointFloatAttribValues("P")).reshape(npts,3)

#placeholder

MR = np.zeros([npts+4, npts+4])

D = np.zeros([npts+4, 3])

dist = cdist(ctrl_source_pts,ctrl_source_pts)

R_c = np.insert(ctrl_source_pts,0,1,axis=1)

#right term

MR[:npts, :npts] = rbf(dist, 1)

MR[:npts, npts:] = R_c

MR[npts:, :npts] = R_c.T

#left term

D[:npts,:] = -ctrl_source_pts + ctrl_target_pts

#solved weights, concatenation of alpha and beta

x = np.linalg.solve(MR,D)

#reshape inputs

deform_mesh = node.inputGeometry(0)

deform_npts = len(deform_mesh.points())

deform_pts = np.array(deform_mesh.pointFloatAttribValues("P")).reshape(deform_npts,3)

dist = cdist(deform_pts,ctrl_source_pts)

#rbf weights

M = np.zeros([deform_npts,npts+4])

M[:,:npts] = rbf(dist, 1)

M[:,npts:] = np.insert(deform_pts,0,1,axis=1)

deform_pts += np.matmul(M,x)

geo.setPointFloatAttribValues("P", deform_pts.reshape(3*deform_npts));

5. 应用

第一个例子对一个怪兽头部做了变形由于控制点可以程序化控制，这里对控制点做了一个噪波，变形出了很多种

节点：

第二个例子中，由于控制点可以是任何形状，甚至任何blendshape都可以因此可以对不同体型的衣服做变形

节点也很简单

最后，RBF的HDA资源可以从 https://github.com/maajor/m-hda-collections/tree/master/RBF 获取

参考资料

PyGeM, Python utilities for geometrical morphing

Sederberg T W , Parry S R . Free-form deformation of solid geometric models[J]. ACM SIGGRAPH Computer Graphics, 1986, 20.

Ju T , Schaefer S , Warren J . Mean value coordinates for closed triangular meshes[J]. ACM Transactions on Graphics, 2005, 24(3):561.

Boer A D, Schoot M S V D, Bijl H. Mesh deformation based on radial basis function interpolation[J]. Computers & Structures, 2007, 85(11):784-795.

Bogdan Cosmin Mocanu. 3D mesh morphing. Economies and finances. Institut Nationaldes Télécommunications,2012.English

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On 3D Mesh Deformation, FFD to RBF | 模型变形从FFD到RBF

1. 模型变形的方法

2. 算法回顾-Lattice FFD到Cage FFD

3. RBF变形

4.Houdini中的实现

5. 应用

参考资料

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2. 算法回顾-Lattice FFD到Cage FFD

3. RBF变形

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