想解决的问题是：已知一连串顶点运动的动画，能不能用骨骼动画把它表示出来？
比如，一个动补的脸部动画？一个离线模拟的布料？
1. Intro
一个直觉的想法是，这不就是降维嘛。顶点运动的很多数据是相关的，比如相近两点的运动会比较接近。所以应该有办法压缩它们，就像PCA主成分分析一样，找到影响顶点最重要的维度就行了。
自然学术界已经有很多研究了。自然首先推荐ACM SIGGRAPH 2014 Course, Skinning: Real-time Shape Deformation
主持人是Dual Quaternion的提出者Kavan大神
第四部分就是讲蒙皮分解，也就是本文想解决的问题。讲义中提到了SMA，FSD，SSDR三种方法。嗯FSD也是Kavan提出的
另外这个Course其它几讲也很有参考价值，比如如何自动rigging。。。。
工业上也是有一些解决方案，比如
Hans Godard’s Skinning Converter
http://www.cgchannel.com/2015/10/hans-godard-releases-skinning-converter-for-maya/
不确定采用的哪种方法。
Houdini Skinning Converter
https://www.sidefx.com/tutorials/game-tools-skinning-converter/
目测类似于SMA的方法，直接指定骨骼初始位置然后计算一次权重和骨骼每帧位置，笔者和SSDR做了对比，可以说Houdini这个确实比较差。
1.1. Smooth Skinning Decomposition with Rigid Bones
2012年的这篇论文可以说是Skin Decomposition的经典文章了
其核心就是想最小化一个目标函数，求解出权重和骨骼的坐标。
目标函数2a中，Rtj是骨骼j在t帧的旋转，Tij是骨骼j在t帧的位移，pi是顶点i的初始位置，wij是骨骼j对顶点i的权重，vti是顶点i在t帧的坐标。
所以直觉来看这个目标函数，就是每个顶点经过骨骼变换位置与实际位置的偏差咯！
2c是权重条件，即每个顶点的骨骼权重和为1
2d是权重稀疏条件，即每个顶点的最大骨骼数量为K
2e为旋转条件，即Rtj这个矩阵是正交
那么算法分三步
- 初始化
- 每步更新权重
- 每步更新骨骼位置
1 初始化
初始化会先用kmean把顶点聚类一下，然后用Kabsch算法找到旋转值
2 每步更新权重
更新权重时候固定骨骼位置，所以这就简化成了一个计算一组W，使得骨骼变换后的顶点到原始顶点距离最小。
所以这就是一个带限制条件的线性回归最小二乘问题啊！
作者说用一个ASM算法就行，但它比较慢所以作者进行了什么优化blabla
3 每步更新骨骼位置
更新骨骼位置。这时候权重固定了，那其实每帧都是独立的，我们对每帧进行计算就行。同时为了保证优化函数非增，我们一根骨骼一根骨骼更新。
对每帧每根骨骼，固定其它骨骼。
这里qi反正它跟其它骨骼相关，在这里是个常数。要解的就是后面那项，对这根骨骼的R和T
作者说这很像一个Weighted Absolute Orientation问题。受Kabsch算法启发，先把顶点移到重心，然后求解一个最优旋转R，再计算最优位移T。
Kabsch算法方便的是通过一个SVD分解就能比较容易地计算出。
最后讲了讲就是这个算法可能有点慢但是效果很好啊！
纵观这个论文，目标其实很简单，然后分而治之，迭代对每一部分优化求解，求解过程各种神奇算法。笔者想，但是没有实践，为什么不用梯度下降求解？？
2. Implementation
笔者当然没有自己写代码实现。有现成的源码
https://github.com/dalton-omens/SSDR
这个是python的实现，笔者尝试了一下在houdini里用它计算，不知道是代码的问题还是houdini的问题，效果对某些变形是好的，但对某些有bug
笔者最后用的这个
https://github.com/TomohikoMukai/ssdr4maya
C++的实现，比上面python那个快很多，而且效果准确。
3. Practice
自然是用布料了!
试试Houdini 17的Vellum吧！
官网就有https://www.sidefx.com/tutorials/november-thug-vellum-with-sara-rascon/
只不过它没有舞者动画的数据
舞者动画找了一个动捕的数据，CMU Mocap Lab就有跳舞的数据。不过官网上那个没有TPose没法用。好在有前人整理过这些数据。
https://sites.google.com/a/cgspeed.com/cgspeed/motion-capture/cmu-bvh-conversion
下载下来第0帧是Tpose，并且骨骼命名可以直接被MotionBuilder识别。
用Vellum示例文件里的角色在Maya里绑定一下，然后导入MotionBuilder做Retarget
发现动作有好多抖动，于是在MotionBuilder里修一下动画。之后导入Houdini就可以模拟Vellum了！
之后从Houdini里导出Alembic，导进Maya里用ssdr4maya转一下，200帧200根骨骼，大概要一个多小时。
保留了不少布褶
对比一下原始模拟
最后导入UE设置材质灯光！
不过动画的压缩有点问题，有些帧顶点跳了，暂不清楚如何解决。
Le, Binh Huy, and Zhigang Deng. “Smooth skinning decomposition with rigid bones.” ACM Transactions on Graphics (TOG) 31.6 (2012): 199.